QuantumQuill量羽

数学与索引约定

适用版本 · ArcQML 0.1.0

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3.1 纯态与归一化

对 n 个量子比特，ArcQML 使用长度为 d 的复数向量表示纯态，其中状态空间维数为：

d=2n.d=2^n.

纯态及其归一化条件为：

∣ψ⟩=∑x=02n−1αx∣x⟩,∑x=02n−1∣αx∣2=1.\lvert\psi\rangle =\sum_{x=0}^{2^n-1}\alpha_x\lvert x\rangle, \qquad \sum_{x=0}^{2^n-1}\lvert\alpha_x\rvert^2=1.

从 Tensor 导入单态时，框架检查整个向量的归一化平方范数；导入 batch 时则逐行检查。考虑到浮点误差，两种接口都要求：

∣∑x∣αx∣2−1∣≤10−10.\left\lvert \sum_x\lvert\alpha_x\rvert^2-1 \right\rvert \le 10^{-10}.

默认构造器创建全零计算基态：

∣0⋯0⟩.\lvert 0\cdots 0\rangle.

该状态的第 0 个振幅为 1，其余振幅均为 0。

3.2 量子比特索引与二进制字符串显示

ArcQML 规定量子比特 q0 对应计算基索引的最低有效位，q1 对应下一位，依次类推。计算基与数值索引的关系为：

∣x⟩=∣qn−1⋯q1q0⟩,x=∑k=0n−1qk2k.\lvert x\rangle =\lvert q_{n-1}\cdots q_1q_0\rangle, \qquad x=\sum_{k=0}^{n-1}q_k2^k.

输出二进制字符串时按量子比特编号从大到小排列，即最左侧为 q[n-1]、最右侧为 q0。例如，在两个量子比特的系统中，内部索引 1 显示为 01。

二量子比特内部索引 二进制显示 q1 的值 q0 的值
0 00 0 0
1 01 0 1
2 10 1 0
3 11 1 1

3.3 局部矩阵与多量子比特门顺序

多量子比特门按调用参数确定局部基顺序：传入的 qubits[0] 对应局部矩阵索引的最低位，qubits[1] 对应下一位。对于 cnot、cp、crx、cry 和 crz 等受控门，第一个量子比特是控制位，第二个量子比特是目标位；例如 cnot(0, 1) 表示 q0 控制、q1 为目标。交换类门虽然在数学上具有对称性，调用时仍需传入两个合法且不同的量子比特索引。

稠密整体酉矩阵的公开行主序数据先使用输出计算基索引，再使用输入计算基索引。另一方面，整体酉的内部批量计算先将每个计算基输入作为一列式 batch 状态，最终再转置到公开矩阵布局。

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